مورب ها و مثلث های انبساطی

تئوری استحکام در ریاضیات

میلگرد زیگزاگ

میلگرد زیگزاگ یا Steel Structure Rebar Truss Girder که به آن تیرچه زیگزاگ یا خرپا نیز گفته می‌شود، یکی از انواع میلگرد است که در صنعت ساختمان سازی نقش مهمی را ایفا می‌کند.

میلگرد زیگزاگ از اتصال میلگردهای آجدار و میلگردهای ساده شکل می‌گیرد که می‌توان آن ها را به دو روش جوشکاری و قلاب کردن، بهم متصل کرد که روش اول رایج تر است.

خرپا چیست

خرپا به سازه های چند عضوی گفته می‌شود که به صورت مثلثی به یکدیگر متصل می‌شوند و اجزای آن‌ها بدون انحنا هستند. این نوع سازه‌ها که اغلب از جنس چوب یا فلز هستند یکی از متداول ترین‌ها در صنعت ساختمان سازی می‌باشند.

خرپا توانایی تحمل نیروهای کششی و فشاری زیادی را دارد و مانع تغییر شکل سازه می‌شود همین امر سبب می‌شود که از آن در ساخت قسمت‌هایی که زیربنای وسیعی دارند از جمله مکان‌های مسقف استفاده شود. همچنین لازم به ذکر است خرپا در دسته سازه‌های ساده‌ی باربر قرار می‌گیرد.

به طور کلی خرپا‌ها را به سه دسته تقسیم می‌کنیم؛ خرپای ساده، خرپای مرکب و خرپای پیچیده و مبهم.

خرپای ساده

خرپای ساده نوعی خرپای مسطح است که از اتصال سه عضو در دو گره به صورت مفصلی یا joint یک مثلث تشکیل می‌دهند که به آن مثلث بنیادی خرپا گفته می‌شود.

برای توسعه بخشیدن به خرپای ساده، اجزاء جدید یعنی دو عضو و یک گره را به انتهای گره قبلی متصل کرده و به آن اضافه می‌کنیم.

خرپای مرکب

خرپای مرکب از ترکیب چند خرپای ساده تشکیل می‌شود و مقاومت نسبتاً زیادی دارد به همین علت در بسیاری از پروژه‌های ساخت و ساز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

خرپای پیچیده و مبهم

خرپای پیچیده و مبهم که به آن خرپای فضایی یا فضاکار نیز گفته می‌شود دارای ابعاد مختلفی است که در این مورد می توان به خرپای سه بعدی و خرپای چندگانه اشاره کرد.

خرپای سه بعدی

خرپای سه بعدی دارای حجم زیادی است و بر روی هر ۳ محور مختصات امتداد یافته.

خرپای چندگانه

خرپای چندگانه که با هدف تصحیح اشکلات وارد بر خرپای سه بعدی تولید شده اغلب دارای اتصالات تکی در وسط و اتصالات دوگانه یا چندگانه در بالا و پایین سازه است.

این نوع خرپا در هیچ کدام از دسته بندی‌های بالا قرار نمی‌گیرد یعنی نه از نوع مرکب است و نه ساده.

خرپا انواع مختلفی دارد ولی در این مقاله ما به معرفی میلگرد زیگزاگ که سازه‌ای از نوع ساده‌ی آن است می‌پردازیم.

میلگرد زیگزاگ چیست

در صنعت ساخت و ساز گاهی محصولات به صورت خام و گاهی به صورت پیش ساخته مورد استفاده قرار می گیرند. میلگرد زیگزاگ یک سازه پیش ساخته فولادی است که از اتصال میلگردهای آجدار A3 و میلگردهای ساده شکل می‌گیرد و متشکل از یک وتر بالایی و پایینی است که توسط شبکه های مورب و عمودی به یکدیگر متصل شدند.

از این میلگرد به علت داشتن مقاومت باربری بالا و توانایی افزایش قابل ملاحظه‌ی مقاومت کششی بتن، اغلب در ساخت پل های معلق و سقف سازه ها استفاده می‌شود. همچنین قیمت آن مستقیماً از قیمت میلگرد تاثیر می‌پذیرد.

اجزاء تشکیل دهنده خرپا

به طور کلی میلگرد زیگزاگ یا خرپا از سه بخش اصلی تشکیل می‌شود؛ میلگرد های بالایی، پایینی و عرضی.

در برخی موارد می‌توان از میلگرد های تقویتی و کمکی اتصال نیز بهره برد.

میلگرد بالایی

این میلگرد وزن خود تیرچه زیگزاگ در مرحله اول باربری، یعنی زمان حمل و نقل و سپس وزن سقف دو عاملی را در مرحله دوم باربری، یعنی زمان بین قالب‌بندی و بتن‌ریزی را تحمل می‌کند.

نیرویی که در این قسمت مورد بررسی است از نوع نیروهای فشاری ناشی از وزن است. این میلگرد باعث خنثی شدن فشار های ناشی از انبساط و انقباض تیرچه می‌شود و همچنین نقش بال را در تیرآهن ایفا می‌کند.

این میلگردها را می‌توان از نوع نورد گرم یا سرد در نظر گرفت اما باید آجدار ۳۴۰ یا بالاتر باشد.

میلگرد پایینی

از آنجایی که نیروی باربری سازه در ابتدا به این بخش می‌رسد، این میلگرد باید از مقاومت بالایی برخوردار باشد که بتواند نیروی کششی به وجود آمده از لنگر خمشی حاصل از وزن خود تیرچه و وزن مرده سقف در فاصله بین هر دو محور تیرچه و بین دو تکیه گاه شمع بندی را تحمل نماید.

میلگرد زیرین قسمتی از تیرچه‌ زیگزاگ است که نیروی کششی را متحمل می‌شود به همین جهت ما آن را در این سازه عضو کششی می‌دانیم. این عضو مانند جان در تیرآهن است.

در ساخت میلگرد پایینی می‌توان از میلگرد نورد گرم و سرد نیز استفاده کرد. در صورت استفاده از میلگرد نورد گرم، باید از نوع آجدار با اندازه ۳۴۰ یا ۴۰۰ و آج ۵۰۰ باشد، و در صورت استفاده از نوع نورد سرد، کافیست میلگرد آجدار باشد. قطر میلگردهای پایین اغلب ۶ تا ۱۶ میلی متر است.

میلگرد عرضی

در مرحله اول باربری یعنی زمانی که میلگرد زیگزاگ حمل می‌شود، باید بتواند وزن خودش را تحمل کند. در اینجا میلگرد عرضی که به آن میلگرد برشی نیز گفته می‌شود، با قرارگیری مورب بین میلگرد بالایی و پایینی حامل بار های برشی می‌شود و نیرویی که ابتدا به میلگرد پایینی وارد می‌شود را بین اجزا تقسیم می‌کند تا از شکستگی تیرچه جلوگیری کند.

همچنین این میلگرد در مرحله‌ی باربری دوم برای تحمل کردن وزن سقف دو عاملی، آرماتورهای ایستایی لازم را تامین می‌کند و همچنین با ایجاد پیوستگی بین میلگرد کششی و بتن پوششی مانع از هم‌گسیختگی بتن می‌شود.

این میلگردها باید از نوع نورد گرم و قطرشان ۴ میلی متر و یا بزرگتر باشد.

میلگرد تقویتی

میلگرد تقویتی تیرچه نوعی میلگرد با قطری بین ۶ تا ۱۶ میلی متر می‌باشد. این نوع میلگرد ها جنبه تقویتی دارند و با افزایش سطح میلگرد زیگزاگ ، نقش مهمی را در جذب و انتقال بارهای برشی، لنگر خمشی و فشاری ایفا می‌کند و می‌تواند از بسیاری از خسارت های وارد شده ناشی از زلزله، طوفان و گودبرداری جلوگیری کند.

میلگرد تقویتی به کار رفته در تیرچه از نوع اکتا است که می‌تواند ۱۸۰ درجه خم شود.

میلگرد کمکی اتصال

استفاده از میلگرد کمکی اتصال که قطر حداقلی ۶ میلی متر دارند به جهت مهار کردن میلگردهای کششی به کار می‌رود. فاصله میلگردهای کمکی اتصال از هم بین ۴۰ تا ۱۰۰ سانتی متر در نظر گرفته می‌شود. ناگفته نماند استفاده از این میلگرد در تیرچه امری ضروری نمی‌باشد.

روش تولید تیرچه زیگزاگ

تیرچه زیگزاگ را می‌توان از دو روش دستی و اتوماتیک تهیه کرد، در این قسمت به تفاوت های آنها نیز میپردازیم؛

روش دستی

در ساخت تیرچه زیگزاگ دو میلگرد آجدار باید در موازات هم در بالا و پایین آن تعبیه شود. پس ابتدا میلگرد های آجدار را علامت گذاری و میلگرد ساده را خم کاری می‌کنند.

نقاطی که جوشکاری می‌شوند را حتما باید زنگ زدایی کنند. برای این کار هر دو نوع میلگرد ساده و آجدار باید برس کاری شوند و بلافاصه روی هم قرار گرفته و جوش کاری شوند. اگر فاصله زمانی بین برس کاری و جوش کاری زیاد باشد مجدد یک لایه اکسید، روی محل آماده برای جوشکاری شکل می گیرد.

در روش دستی تولید میلگرد زیگزاگ به غیر از جوشکاری از قلاب کردن که باعث افزایش وزن سازه می‌شود نیز می‌توان استفاده کرد ولی به دلیل زمان بر بودن و نیاز به تعداد بالای نیروی انسانی، این روش کمتر مورد استفاده قرار می‌گیرد.

روش مکانیزه (اتوماتیک)

در روش تولید مکانیزه میلگرد زیگزاگ که بدون دخالت دست، با دستگاه و با سرعت بسیار بیشتری نسبت به روش قبلی انجام می‌شود، ابتدا میلگرد های ساده‌ی دارای کربن کمتر که به صورت کلاف روی هم قرار دارند را با استفاده از غلتک های مخصوصی صاف و تحت کشش بسیار قرار می‌دهند و سپس آنها را به شکل V خم می‌کنند.

در مرحله‌ی بعدی برای متصل کردن مقاطع ایجاد شده، آن ها را از روش الکتریکی و با استفاده از آرماتور و نقطه‌ی جوش، به یکدیگر جوش می‌دهند.

در این روش طول میلگرد های زیگزاگ ایجاد شده زیاد است و بعد از جوشکاری آن را به قطعات دلخواه برش می‌دهند.

مزیت روش اتوماتیک نسبت به روش دستی

• یک دست بودن خم کاری مفتول های میلگردی.
• کمترین رواداری در ارتفاع تیرچه.
• تولید عرض میلگرد زیگزاگ در یک راستا بدون کمترین تغییرات.
• سهولت در استفاده از مفتول با قطر بالاتر.

• عدم استفاده از الکترود برای جوش زدن میلگردها و در نتیجه ایجاد نشدن گل جوش و کم نشدن دیواره میلگرد در محل اتصال.
• مقاومت بالای میلگرد زیگزاگ مکانیزه به دلیل استانداردهای بالا و کمترین میزان خطا.

• کم بودن هزینه ‌های ساخت تیرچه به دلیل عدم نیاز به نیروی انسانی زیاد.

انواع میلگرد زیگزاگ

در طراحی و تولید میلگرد زیگزاگ به کاربرد آنها در صنعت ساخت و ساز توجه ویژه‌ای می‌شود؛ به همین دلیل در برخی پروژه های عمرانی این تیرچه ها در اشکال مختلفی تولید می‌شوند.

در برخی از این تیرچه ها به جای میلگرد بالایی و پایینی، از نبشی آهنی استفاده می‌شود. همچنین در برخی دیگر به جای نبشی آهنی یا میلگرد آجدار از تسمه فولادی برای ساخت این سازه بهره می‌برند. گاهی نیز ترکیبی از این دو را مورد استفاده قرار می‌دهند.

می‌توان تیرچه زیگزاگ را از لحاظ تعداد میلگرد های بالایی و پایینی نیز به دو دسته تقسیم نمود؛ دسته اول به نوع منفرد میلگرد زیگزاگ شهرت دارد و در قسمت بالایی و پایینی تیرچه تنها یک عدد میلگرد آجدار به‌کار رفته است، به این نوع تیرچه، تیرچه با جان باز نیز گفته می‌شود.

دسته دوم که اغلب آن را با عنوان میلگرد دوبل می‌شناسند، برعکس نوع منفرد است و در هر دو قسمت بالا و پایین دو عدد میلگرد آجدار به‌کار رفته است.

نحوه تعیین قیمت تیرچه زیگزاگ

همانطور که گفته شد قیمت میلگرد زیگزاگ از قیمت عوامل سازنده‌ی آن تاثیر میپذیرد.

اگر از نوع معمول آن باشد قیمت تیرچه زیگزاگ مستقیما وابسته به قیمت میلگردهای آجدار و میلگردهای ساده‌ می‌باشد. همچنین اگر در قسمت بالا و پایین آن از نبشی آهنی و یا تسمه‌ی فولادی استفاده شده باشد به علت بالاتر رفتن وزن میلگرد زیگزاگ، شاهد افزایش قیمت در این نوع سازه خواهیم بود.

فرمول های محاسبه طول کلی خرپا (میلگرد عرضی)

برای به‌دست آوردن طول میلگرد زیگزاگ(عرضی یا برشی) مطابق با استاندارد های بین الملل از فرمول های زیر به ترتیب از بالا به پایین استفاده می‌شود؛

تئوری استحکام در ریاضیات

فکر کردن درباره‌ی سخت پایی یا استحکام می‌تواند سبب انعطاف پذیری شود. این درسی بود که دیودنی در یک تابستان، که به همراه پدر و پسرش جانتن در شمال کانادا مشغول تعمیر کلبه‌ی ییلاقی خود بودند، آموخت. او می‌گوید پدرم

تئوری استحکام در ریاضیات

ترجمه: حمید وثیق زاده انصاری
منبع:راسخون

فکر کردن درباره‌ی سخت پایی یا استحکام می‌تواند سبب انعطاف پذیری شود. این درسی بود که دیودنی در یک تابستان، که به همراه پدر و پسرش جانتن در شمال کانادا مشغول تعمیر کلبه‌ی ییلاقی خود بودند، آموخت. او می‌گوید پدرم برای مرمت و لکه گیری محل نشت آب از سقف، چوب بستی از تیرهای صنوبر تازه بریده شده ساخته بود. وقتی که او و جانتن به بالای آن رفتند چارچوبه‌ی زمخت و محکم غِژغِژکنان شروع به تاب خوردن کرد. من یادآوری کردم که چوب بست اندکی ناپایدار به نظر می‌رسد، اما پدرم به طعنه گفت چطور چنین چیزی می‌شود؟ این، تحمل وزن ده نفر را دارد و من حداقل تیرهای لازم برای چنین تحملی را در ساخت چوب بست به کار برده‌ام. آخر، جر و بحث کردن با پدرم که چوبکاری ماهر و ریاضی دانی آماتور بود چه فایده‌ای داشت؟ به این جهت به درون کلبه بازگشتم تا به خرده کاری‌های روزانه‌ام بپردازم. هنوز یک دقیقه نگذشته بود که صدای غِژ و گُمب و دو فریادِ بلندِ ناشی از وحشت زدگی شنیدم. سراسیمه به بیرون پریدم و جانتن و پدرم را دیدم که روی خزه‌ها ولو شده بودند. چوب بست، درهم شکسته شده بود. هر دوی آن‌ها بلند شدند و پدرم، شرمسار از کار خویش، با نیشخند گفت لعنتی، اصلاً فکرش را هم نمی‌کردم! لازم نیست پدرم را به خاطر ساختن یک داربست ناپایدار سرزنش کنم. قرن‌هاست که حتی ریاضی‌دانان و مهندسان هم از جنبه‌ی نظری و هم از لحاظ عملی تلاش زیادی برای ساختن داربست‌های مستحکم (سخت پای) به عمل می‌آورند. ریاضی دانان این را نظریه‌ی سخت پایی یا استحکام می‌نامند. تصمیم گرفتم به این موضوع بپردازم به این امید که با دست‌یابی به بینش‌هایی چند، شاید خانواده‌ی خود و سایرین را از گزند آسیب‌های بیش‌تر مصون دارم. علاوه بر این، تحقیق من به طرح مجموعه‌هایی سرگرم کننده برای گیج کردن ذهن انجامید.
متخصصانِ نظریه‌ی استحکام یا سخت پایی ترجیح می‌دهند که داربست‌های خود را از میخ و چوب (تیر) صنوبر نسازند. در عوض آن‌ها یک مجموعه ساختار ذهنی متشکل از تیرهای انتزاعی در اختیار دارند که با هیچ نیرویی، ولو به مقدار زیاد، نمی‌توان آن‌ها را بسط داد، تحت فشار درآورد، و یا خم کرد. طول این‌گونه تیرها به تمامی در ذهن، قابل تغییر و تبدیل‌اند و با مماس شدن هر دو انتهای دو یا چندتایی از آن‌ها «لولایِ جهانیِ آنی» تشکیل می‌شود. این لولا به گونه‌ای است که هر دو تیر حول آن می‌گردند مگر این که سایر تیرهای رابط مانع حرکت آن‌ها بشوند.
برای مثال فرض کنیم داربستی به شکل مکعب، متشکل از دوازده تیرِ هم‌اندازه، ساخته باشیم. این داربستِ مکعب شکل، محکم و پایدار نیست، زیرا اگر آن را روی میز بگذاریم در یک آن فرو می‌ریزد. درواقع اگر این‌گونه داربست‌ها مستحکم بودند پل‌ها و برج‌ها نیازی به تیرهای تقویت کننده‌ی مورب (تیرهای قطری) نداشتند. من کوشیدم با افزودن تیرهای مورب به برخی از وجوه شش‌گانه‌ی مکعب، آن را استوار کنم. به نظر شما چند تیر لازم بود تا مکعب استوار شود؟ در آغاز، چنین به نظر رسید که وجود چهار تیر، اگر به درستی کار گذاشته شوند، کافی خواهد بود. ولی بعداً دریافتم در این حال بالاخره طریفی برای این‌که مکعب از حالت پایدار درآید و منعطف شود پیدا می‌شود. سپس معلوم شد که حتی مکعبی با پنج تیر مورب در پنج وجه آن، مستحکم نیست. (نگاه کنید به شکل زیر.) پنج تیر مورب و شش تیر تشکیل دهنده‌ی مکعب (تشکیل دهنده‌ی اضلاع دو کنج)، دو چهار وجهی تشکیل می‌دهند که توسط یک تیر مشترک (قطر ضلع تحتانی مکعب)، لولا و به هم وصل می‌شوند.

چنان‌چه این دو چهار وجهی را از دو طرف به داخل فشار دهیم دو تا از چهار نقطه‌ی اتصال مربوط به سطح تقویت نشده‌ی مکعب (سطح فوقانی) به یک‌دیگر نزدیک و دوتای دیگر از هم دور می‌شوند و به این ترتیب مکعب منعطف می‌شود. صرف نظر از این که چگونه تیرهای مورب در وجوه مکعب تعبیه شده باشند همواره راهی برای منعطف کردن مکعب وجود دارد. برای استحکام مکعب دست‌کم شش تیر مورب لازم است.
اما اگر برای استحکام بخشیدن به مکعب به جای استفاده از تیرهای مورب در وجوه مختلف، آن‌ها را چنان تعبیه کنیم که یک یال را به یال مقابل ربط دهند و از نقطه‌ی مرکزی مکعب بگذرند، چه وضعی پیش می‌آید؟ (خوانندگان می‌توانند مشکل ناشی از متقاطع شدن تیرهای قطری را که معلول شور و شوق کاری توأم با بی‌دقتی نظریه پردازان است نادیده انگارند.)

مکعب‌های تقویت شده با چنین چهار تیر قطری‌ای از چنان استحکام عجیبی برخوردارند که نظریه پردازان آن‌ها را مکعب‌های دارای انعطاف‌های بی نهایت کوچک می‌نامند. به تعبیری می‌توان گفت انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک عبارت است از حرکت یک قسمت از داربست متناسب و مرتبط با قسمتی دیگر. با این حال این حرکت آن قدر ناچیز است که حتی می‌توان گفت عملاً وجود ندارد.
بد نیست در این رابطه توضیح بیش‌تری بدهیم: مکعب تقویت شده با تیرهای قطری را در تصویر بالا مشاهده می‌کنیم. چون همه‌ی تیرهای تشکیل دهنده‌ی مکعب از مواد مرغوبی ساخته شده‌اند که امکان تغییر طول آن‌ها، ولو به مقدار بسیار جزئی، وجود ندارد، سطح فوقانی مکعب را در واقع نمی‌توان حتی به میزان بسیار اندک چرخاند (با در واقع پیچاند). با این حال می‌توان دست به کار شد و هم‌زمان سطح فوقانی و تحتانی را در دو جهت مخالف چرخاند. در حین انجام این حرکت جزئی و بسیار محدود، هیچ یک از قسمت‌های مکعب هیچ مقاومتی نخواهد کرد زیرا همه‌ی نیروهای رابط سطوح بالا و پایین مکعب با جهت چرخش زاویه‌ی قائمه می‌سازند.
اما اگر این مکعبِ تقویت شده با تیرهای قطری، از مواد متعارف ساخته می‌شد، در مقابل چرخش‌های جزئی ولی محسوس آشکارا آسیب پذیر بود و ساختارش تکان می‌خورد. (پدر من این شیوه‌ی خاصِ تقویت داربست را نادیده گرفت.) داربست‌هایی که تنها از انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک برخوردارند، مستحکم یا سخت پا مورب ها و مثلث های انبساطی محسوب می‌شوند.
نظریه پردازانِ سخت پایی به جز برخورداری از مجموعه‌های ساختار ذهنی، یک مجموعه ابزار ذهنیِ مشتمل بر بسیاری از قضیه‌ها و تکنیک‌ها دارند که می‌توان به کمک آن‌ها و سایر چیزها مکعب را استحکام بخشید. یکی از ساده‌ترین و مؤثرترین این ابزارها به همت مهندسان قرن نوزدهم میلادی کشف شد. هر چارچوبه ای که j نقطه اتصال (مفصل) داشته باشد، حداقل 3j-6 تیر لازم دارد تا از نظر استحکام در زمره‌ی بی نهایت کوچک‌ها قرار گیرد. این قضیه را می‌توان در مورد مکعب تعمیم داد. با توجه به هشت نقطه‌ی اتصال آن داریم j=8. از این رو عدد جادویی مربوط به مکعب که از فرمول مذکور به دست می‌آید عبارت است از (3×8)-6=18. برای اثبات این امر که یک مکعب متشکل از هجده تیر (دوازده یال و شش تیر تقویت کننده) از نظر سخت پایی در زمره‌ی بی‌نهایت کوچک‌هاست می‌توان به قضیه‌ای که توسط هندسه دان روسی ا. د. الکساندروف در دهه‌ی 1940 میلادی ابداع شد استناد کرد. الکساندروف استحکام داربست‌ها را با توجه به یک چند وجهی محدب بررسی کرد. این سطوح صاف و تراش خورده شامل همه چیز، از وجوه مکعب‌ها گرفته تا سطوح تراش خورده‌ی سنگ‌های قیمتی و سطوح صیقلی گنبدهای ژئودزیکِ ریچارد باک مینستر فولر می‌شود. الکساندروف ثابت کرد که هر داربستِ مبتنی بر یکی از این شکل‌ها می‌تواند دارای استحکام بی‌نهایت کوچک‌ها باشد مشروط بر این که تیرهای افزوده شده به داربست چنان باشد که هر یک از وجوه آن مرکب از چند مثلث باشد. بدین ترتیب بنا بر قضیه‌ی الکساندروف، تقویت هر وجه مکعب با تقسیم آن به دو مثلث (یک تیر برای هر وجه) سبب سخت‌پایی مکعب می‌شود.
من به همه‌ی خوانندگانی که در درک و فهم موضوع سخت پایی مکعب‌ها دچار مشکل هستند حق می‌دهم. حتی نمودارهای ارائه شده اندکی پیچیده هستند. شاید وقت آن باشد که با فرود آمدن از فضای سه بعدی به سطح، و گام نهادن به یک فضای دو بعدی پوشیده از چارچوبه‌های مسطح مختلف، جانی تازه به قضیه‌ی سخت پایی بدمیم. هرچند که خوانندگان به راحتی می‌توانند دریابند که یک مربع را می‌شود با افزودن تنها یک تیر مورب مستحکم کرد، ولی درک و فهم این که چگونه به یک شبکه‌ی متشکل از مربع‌ها باید استحکام بخشید تا اندازه‌ای نیازمند کند و کاو و تأمل است. برای مثال، چند تیر مورب باید به یک شبکه‌ی مسطح مربع‌های چهار در چهار افزود تا انعطاف ناپذیر شود؟ برای مستحکم کردن چنین شبکه‌ای با فقط هفت تیر مورب، دو راه وجود دارد؛ اما در یکی از این دو راه، شبکه‌ی تقویت شده چندان مستحکم نیست.
گاهی اوقات کاوش در باره‌ی سخت‌پایی، مستلزم به خرج دادن انعطاف پذیری به مفهوم عینی و دقیق کلمه است. هیچ داستانی بهتر از داستان مشهور حدسیه‌ی سخت‌پایی موضوع را روشن نمی‌کند. در قرن هفدهم میلادی ریاضی‌دان فرانسوی اگوستن لویی کوشی با حسرت و شگفتی در این اندیشه شد که آیا سطوح همه‌ی چند وجهی‌های محدب مستحکم‌اند. این‌گونه سطوح، همه‌ی وجوه چند وجهی‌هایی را که بنا بر قضیه‌ی الکساندروف به صورت مثلث تقسیم بندی شده‌اند و بسیاری از چند وجهی‌های دیگر را در بر می‌گیرند. سطوح منقسم شده با وجوه آن‌ها توسط چند ضلعی‌های مستوی با تعداد ضلع‌های مختلف محدود می‌شوند. چون این شکل‌ها محدب‌اند، هیچ‌گونه فرورفتگی یا گودی در آن‌ها وجود ندارد. در سال 1813 میلادی کوشی ثابت کرد که یک چند وجهی محدب در صورتی مستحکم است که همه‌‌ی سطوح آن مثلث باشند. طبق این قضیه، هر سطح محدب متشکل از مثلث‌ها می‌تواند مستحکم باشد مشروط بر این‌که تیرهای مورب تشکیل دهنده‌ی هر مثلث با مثلث دیگر مشترک باشد.
با وجود محدود بودن قضیه‌ی کوشی – محدودیت محدب بودن سطح – ریاضی دانان رفته رفته این پرسش تردید آمیز را مطرح کردند که آیا همه‌ی سطوح متشکل از مثلث‌ها – حتی سطوحی که محدب نیستند – مستحکم هستند. به نظر می‌رسد که بتوان این‌گونه سطوح را به طریقی فشرد، پیچاند، یا از شکل انداخت. تنها لازمه‌ی انجام این کار آن است که آن‌ها از نظر توپولوژیک، ساده باشند. اگر این گونه سطوح، ناگهان واجد خاصیت کشسانی و انبساط پذیری گردند، باید (کم و بیش) کروی باشند. از این گذشته، یک سطح ساده مستلزم آن بود که هیچ قسمت آن با هیچ قسمت دیگرش مماس نباشد. ریاضی دانان گمان می‌کردند که اگر سطحی واجد همه‌ی این خصوصیت‌ها باشد در آن صورت صرف نظر از این که چگونه بر اثر فشار تغییر شکل یابد، بخشی از آن که شامل مثلث‌هاست، هیچ گونه انعطافی نمی‌پذیرد.
در طول بیش از صد سال، هیچ‌کس نه می‌توانست حدسیه‌ی سخت پایی را ثابت کند و نه می‌توانست حدسیه‌ای را که بر یک سطح غیر محدب انعطاف پذیر و تقسیم شده به مثلث‌ها مبتنی بود مردود بداند. قوی‌ترین شاهد تأیید آمیز این حدسیه وقتی ارائه شد که در سال 1974 میلادی هرمن ر. گلاک از دانشگاه پنسیلوانیا ثابت کرد که تقریباً همه‌ی این‌گونه سطوح، مستحکم هستند. به تعبیری دیگر، نمونه‌هایی از نظریات مخالف با این حدسیه اگر وجود داشت در واقع نادر بود. حتی هر ناموافقی درمی‌یافت که این امر دلیل و شاهدی محکم در تأیید بی‌اعتبار کردن حدسیه است. اما رابرت کانلی از دانشگاه کُرنِل، پس از تأمل‌های بسیار متقاعد شد که حدسیه‌ی دیرپایی نادرست بوده است. او که سطوح مختلف را که در نظرش می‌بایست انعطاف پذیر می‌بودند یکی پس از دیگری در خیال مجسم کرده بود سرانجام روزی به این واقعیت رسید که برخلاف قضیه‌ی گلاک کار می‌کرده است. دفتر کارش مملو از مدل‌هایی بود که ریاضی‌دانان آماتور با این اعتقاد که آن‌ها انعطاف پذیرند برای او فرستاده بودند. او می‌گفت قضیه‌ی گلاک در عمل پذیرفتنی نیست! کانلی که با جهان مشکلِ گلاک رو به رو بود تصمیم گرفت مکانیسم‌های مختلف، یعنی داربست‌هایی را که به باور او انعطاف پذیر بودند، بررسی کند. کانلی که کار را با یک چارچوبه‌ی بسیار ساده‌ی انعطاف پذیر شروع کرد، دانش توپولوژی خود را به کار گرفت تا با افزودن مثلث‌های ساده به چارچوبه، آن را مستحکم کند. اما روزی احساس کرد که به بن بست رسیده است، زیرا در مقابل او یک سطح غیر محدب بود که منعطف شد. اما این همان چیزی نیست که توپولوژیست‌ها آن را کره می‌خوانند. دو لبه در داخل سطح بر یک‌دیگر مماس شده‌اند مانند توپ بسکتبالِ خالی شده از باد که یک طرف آن به طرف نقطه‌ی مقابل فشرده شود. این کار آشکارا آزارنده بود. کاری بود سهل و ممتنع. پس از این بود که فکر پیچ و تاب دادن به ذهن او خطور کرد. ناگهان به این فکر افتاد که به طریقی، با ایجاد مثلث‌هایی در گرداگرد سطح – مثلث‌هایی به تعداد کافی که مانع تماس دو خط باشند – که قابلِ تا شدن باشند، لبه‌های مزاحم را به تقسیمات فرعی بخش کند. مدلی که او ساخت منعطف شد!
یک نمونه‌ی مخالف با حدسیه‌ی دیرپایی که در آثار مکتوب ریاضی منعکس شده است مربوط به سال 1978 میلادی است. کوتاه زمانی پس از بررسی‌های کانلی، ریاضی دان آلمانی موسوم به کلاوس استفن با الهام از اندیشه‌ی کانلی، یک سطحِ حتی ساده‌تر کشف کرد که منعطف می‌شد. وقتی سطح کانلی-استفن کامل شد، دو مثلث میانی از محل ضلع مشترکشان تا زده می‌شوند و به این ترتیب می‌توان با یک دست سطح را از محل تا زدگی گرفت و بالا نگاه داشت. سپس این امکان فراهم می‌شود که در حالی که دست دیگر را کاملاً به زیر مدل می‌بریم به آرامی و با دقت دور تا دور شکل را اندکی – به اندازه‌ی تقریباً ده درجه – تا بزنیم تا رأس زیرین تشکیل شود. با تشکیلِ این شکلِ ظریفِ انعطاف پذیر، مشخص می‌شود که اندازه و مقدار این سطح، پس از تغییر شکل ثابت می‌ماند. کانلی هم‌چنین در این اندیشه بود که آیا خاصیت مقدار ثابت در موردِ تمام سطوح انعطاف پذیر و غیر محدبِ تقسیم شده به مثلث‌ها مصداق دارد. اگر کانلی کمان می‌کند که چنین است، او خود باید انعطاف پذیر باشد! شاید برخی از مدعیانِ تازه گام نهاده در عرصه‌ی نظریه پردازیِ سخت پایی مثالی در رد اندیشه‌ی کانلی بیابند. من خود، به عنوان مثلاً یک مدعی نوپا، پدرم را به خاطر در هم شکسته شدنِ چارچوبه تا اندازه‌ای دچار نگرانی و زحمت کردم. اما در ظرف چند ساعت پس از این حادثه، داربست، دوباره ساخته و برپا شد. این بار، داربست عینِ داربست قبلی بود با این تفاوت که یک تیر صنوبر اضافی داشت. پدرم با اطمینان خاطر از داربست بالا رفت. من مطمئنم که لرزش‌های خفیفی که با بالا رفتن او در داربست به چشم دیدم از نوع همان انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک‌ها بود.

مورب ها و مثلث های انبساطی

سوالات آمادگی کنکور سراسری هندسه (2) پایۀ یازدهم رشتۀ علوم ریاضی | فصل…

تیم مدیریت گاما

سوالات آمادگی کنکور سراسری هندسه (2) پایۀ یازدهم رشتۀ علوم ریاضی | فصل…

تیم مدیریت گاما

سوالات آمادگی کنکور سراسری هندسه (2) پایۀ یازدهم رشتۀ علوم ریاضی | فصل…

تیم مدیریت گاما

سوالات امتحان نوبت دوم هندسه (2) پایه یازدهم دبیرستان غیرانتفاعی هاتف | خرداد 1397…

تیم مدیریت گاما

نمونه سوال امتحان ترم دوم هندسه یازدهم دبیرستان سید الشهداء + پاسخ

امیر علی سلطانی

سوالات امتحان نوبت دوم هندسه (2) یازدهم دبیرستان شهید مرتضی مطهری | اردیبهشت 1400

امتحان ترم اول هندسه یازدهم دبیرستان فرزانگان 2 تهران | دی 98

آزمون میان ترم هندسه (2) یازدهم دبیرستان موحد | فصل 1: دایره

آزمون پایانی نوبت دوم هندسه (2) پایه یازدهم دبیرستان کمال اصفهان | خرداد 1397 +…

سلیمه خان احمدی

نمونه سوال امتحان نوبت اول هندسه (2) پایه یازدهم رشته ریاضی | ویژه دی 96

سوالات و پاسخ تشریحی امتحان نوبت اول هندسه (2) یازدهم مدارس برتر | دی 96

سوالات امتحان نوبت دوم هندسه (2) یازدهم دبیرستان امام خمینی فردیس کرج | خرداد 1401

تئوری استحکام در ریاضیات

فکر کردن درباره‌ی سخت پایی یا استحکام می‌تواند سبب انعطاف پذیری شود. این درسی بود که دیودنی در یک تابستان، که به همراه پدر و پسرش جانتن در شمال کانادا مشغول تعمیر کلبه‌ی ییلاقی خود بودند، آموخت. او می‌گوید پدرم

تئوری استحکام در ریاضیات

ترجمه: حمید وثیق زاده انصاری
منبع:راسخون

فکر کردن درباره‌ی سخت پایی یا استحکام می‌تواند سبب انعطاف پذیری شود. این درسی بود که دیودنی در یک تابستان، که به همراه پدر و پسرش جانتن در شمال کانادا مشغول تعمیر کلبه‌ی ییلاقی خود بودند، آموخت. او می‌گوید پدرم برای مرمت و لکه گیری محل نشت آب از سقف، چوب بستی از تیرهای صنوبر تازه بریده شده ساخته بود. وقتی که او و جانتن به بالای آن رفتند چارچوبه‌ی زمخت و محکم غِژغِژکنان شروع به تاب خوردن کرد. من یادآوری کردم که چوب بست اندکی ناپایدار به نظر می‌رسد، اما پدرم به طعنه گفت چطور چنین چیزی می‌شود؟ این، تحمل وزن ده نفر را دارد و من حداقل تیرهای لازم برای چنین تحملی را در ساخت چوب بست به کار برده‌ام. آخر، جر و بحث کردن با پدرم که چوبکاری ماهر و ریاضی دانی آماتور بود چه فایده‌ای داشت؟ به این جهت به درون کلبه بازگشتم تا به خرده کاری‌های روزانه‌ام بپردازم. هنوز یک دقیقه نگذشته بود که صدای غِژ و گُمب و دو فریادِ بلندِ ناشی از وحشت زدگی شنیدم. سراسیمه به بیرون پریدم و جانتن و پدرم را دیدم که روی خزه‌ها ولو شده بودند. چوب بست، درهم شکسته شده بود. هر دوی آن‌ها بلند شدند و پدرم، شرمسار از کار خویش، با نیشخند گفت لعنتی، اصلاً فکرش را هم نمی‌کردم! لازم نیست پدرم را به خاطر ساختن یک داربست ناپایدار سرزنش کنم. قرن‌هاست که حتی ریاضی‌دانان و مهندسان هم از جنبه‌ی نظری و هم از لحاظ عملی تلاش زیادی برای ساختن داربست‌های مستحکم (سخت پای) به عمل می‌آورند. ریاضی دانان این را نظریه‌ی سخت پایی یا استحکام می‌نامند. تصمیم گرفتم مورب ها و مثلث های انبساطی به این موضوع بپردازم به این امید که با دست‌یابی به بینش‌هایی چند، شاید خانواده‌ی خود و سایرین را از گزند آسیب‌های بیش‌تر مصون دارم. علاوه بر این، تحقیق من به طرح مجموعه‌هایی سرگرم کننده برای گیج کردن ذهن انجامید.
متخصصانِ نظریه‌ی استحکام یا سخت پایی ترجیح می‌دهند که داربست‌های خود را از میخ و چوب (تیر) صنوبر نسازند. در عوض آن‌ها یک مجموعه ساختار ذهنی متشکل از تیرهای انتزاعی در اختیار دارند که با هیچ نیرویی، ولو به مقدار زیاد، نمی‌توان آن‌ها را بسط داد، تحت فشار درآورد، و یا خم کرد. طول این‌گونه تیرها به تمامی در ذهن، قابل تغییر و تبدیل‌اند و با مماس شدن هر دو انتهای دو یا چندتایی از آن‌ها «لولایِ جهانیِ آنی» تشکیل می‌شود. این لولا به گونه‌ای است که هر دو تیر حول آن می‌گردند مگر این که سایر تیرهای رابط مانع حرکت آن‌ها بشوند.
برای مورب ها و مثلث های انبساطی مثال فرض کنیم داربستی به شکل مکعب، متشکل از دوازده تیرِ هم‌اندازه، ساخته باشیم. این داربستِ مکعب شکل، محکم و پایدار نیست، زیرا اگر آن را روی میز بگذاریم در یک آن فرو می‌ریزد. درواقع اگر این‌گونه داربست‌ها مستحکم بودند پل‌ها و برج‌ها نیازی به تیرهای تقویت کننده‌ی مورب (تیرهای قطری) نداشتند. من کوشیدم با افزودن تیرهای مورب به برخی از وجوه شش‌گانه‌ی مکعب، آن را استوار کنم. به نظر شما چند تیر لازم بود تا مکعب استوار شود؟ در آغاز، چنین به نظر رسید که وجود چهار تیر، اگر به درستی کار گذاشته شوند، کافی خواهد بود. ولی بعداً دریافتم در این حال بالاخره طریفی برای این‌که مکعب از حالت پایدار درآید و منعطف شود پیدا می‌شود. سپس معلوم شد که حتی مکعبی با پنج تیر مورب در پنج وجه آن، مستحکم نیست. (نگاه کنید به شکل زیر.) پنج تیر مورب و شش تیر تشکیل دهنده‌ی مکعب (تشکیل دهنده‌ی اضلاع دو کنج)، دو چهار وجهی تشکیل می‌دهند که توسط یک تیر مشترک (قطر ضلع تحتانی مکعب)، لولا و به هم وصل می‌شوند.

چنان‌چه این دو چهار وجهی را از دو طرف به داخل فشار دهیم دو تا از چهار نقطه‌ی اتصال مربوط به سطح تقویت نشده‌ی مکعب (سطح فوقانی) به یک‌دیگر نزدیک و دوتای دیگر از هم دور می‌شوند و به این ترتیب مکعب منعطف می‌شود. صرف نظر از این که چگونه تیرهای مورب در وجوه مکعب تعبیه شده باشند همواره راهی برای منعطف کردن مکعب وجود دارد. برای استحکام مکعب دست‌کم شش تیر مورب لازم است.
اما اگر برای استحکام بخشیدن به مکعب به جای استفاده از تیرهای مورب در وجوه مختلف، آن‌ها را چنان تعبیه کنیم که یک یال را به یال مقابل ربط دهند و از نقطه‌ی مرکزی مکعب بگذرند، چه وضعی پیش می‌آید؟ (خوانندگان می‌توانند مشکل ناشی از متقاطع شدن تیرهای قطری را که معلول شور و شوق کاری توأم با بی‌دقتی نظریه پردازان است نادیده انگارند.)

مکعب‌های تقویت شده با چنین چهار تیر قطری‌ای از چنان استحکام عجیبی برخوردارند که نظریه پردازان آن‌ها را مکعب‌های دارای انعطاف‌های بی نهایت کوچک می‌نامند. به تعبیری می‌توان گفت انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک عبارت است از حرکت یک قسمت از داربست متناسب و مرتبط با مورب ها و مثلث های انبساطی قسمتی دیگر. با این حال این حرکت آن قدر ناچیز است که حتی می‌توان گفت عملاً وجود ندارد.
بد نیست در این رابطه توضیح بیش‌تری بدهیم: مکعب تقویت شده با تیرهای قطری را در تصویر بالا مشاهده می‌کنیم. چون همه‌ی تیرهای تشکیل دهنده‌ی مکعب از مواد مرغوبی ساخته شده‌اند که امکان تغییر طول آن‌ها، ولو به مقدار بسیار جزئی، وجود ندارد، سطح فوقانی مکعب را در واقع نمی‌توان حتی به میزان بسیار اندک چرخاند (با در واقع پیچاند). با این حال می‌توان دست به کار شد و هم‌زمان سطح فوقانی و تحتانی را در دو جهت مخالف چرخاند. در حین انجام این حرکت جزئی و بسیار محدود، هیچ یک از قسمت‌های مکعب هیچ مقاومتی نخواهد کرد زیرا همه‌ی نیروهای رابط سطوح بالا و پایین مکعب با جهت چرخش زاویه‌ی قائمه می‌سازند.
اما اگر این مکعبِ تقویت شده با تیرهای قطری، از مواد متعارف ساخته می‌شد، در مقابل چرخش‌های جزئی ولی محسوس آشکارا آسیب پذیر بود و ساختارش تکان می‌خورد. (پدر من این شیوه‌ی خاصِ تقویت داربست را نادیده گرفت.) داربست‌هایی که تنها از انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک برخوردارند، مستحکم یا سخت پا محسوب می‌شوند.
نظریه پردازانِ سخت پایی به جز برخورداری از مجموعه‌های ساختار ذهنی، یک مجموعه ابزار ذهنیِ مشتمل بر بسیاری از قضیه‌ها و تکنیک‌ها دارند که می‌توان به کمک آن‌ها و سایر چیزها مکعب را استحکام بخشید. یکی از ساده‌ترین و مؤثرترین این ابزارها به همت مهندسان قرن نوزدهم میلادی کشف شد. هر چارچوبه ای که j نقطه اتصال (مفصل) داشته باشد، حداقل 3j-6 تیر لازم دارد تا از نظر استحکام در زمره‌ی بی نهایت کوچک‌ها قرار گیرد. این قضیه را می‌توان در مورد مکعب تعمیم داد. با توجه به هشت نقطه‌ی اتصال آن داریم j=8. از این رو عدد جادویی مربوط به مکعب که از فرمول مذکور به دست می‌آید عبارت است از (3×8)-6=18. برای اثبات این امر که یک مکعب متشکل از هجده تیر (دوازده یال و شش تیر تقویت کننده) از نظر سخت پایی در زمره‌ی بی‌نهایت کوچک‌هاست می‌توان به قضیه‌ای که توسط هندسه دان روسی ا. د. الکساندروف در دهه‌ی 1940 میلادی ابداع شد استناد کرد. الکساندروف استحکام داربست‌ها را با توجه به یک چند وجهی محدب بررسی کرد. این سطوح صاف و تراش خورده شامل همه چیز، از وجوه مکعب‌ها گرفته تا سطوح تراش خورده‌ی سنگ‌های قیمتی و سطوح صیقلی گنبدهای ژئودزیکِ ریچارد باک مینستر فولر می‌شود. الکساندروف ثابت کرد که هر داربستِ مبتنی بر یکی از این شکل‌ها می‌تواند دارای استحکام بی‌نهایت کوچک‌ها باشد مشروط بر این که تیرهای افزوده شده به داربست چنان باشد که هر یک از وجوه آن مرکب از چند مثلث باشد. بدین ترتیب بنا بر قضیه‌ی الکساندروف، تقویت هر وجه مکعب با تقسیم آن به دو مثلث (یک تیر برای هر وجه) سبب سخت‌پایی مکعب می‌شود.
من به همه‌ی خوانندگانی که در درک و فهم موضوع سخت پایی مکعب‌ها دچار مشکل هستند حق می‌دهم. حتی نمودارهای ارائه شده اندکی پیچیده هستند. شاید وقت آن باشد که با فرود آمدن از فضای سه بعدی به سطح، و گام نهادن به یک فضای دو بعدی پوشیده از چارچوبه‌های مسطح مختلف، جانی تازه به قضیه‌ی سخت پایی بدمیم. هرچند که خوانندگان به راحتی می‌توانند دریابند که یک مربع را می‌شود با افزودن تنها یک تیر مورب مستحکم کرد، ولی درک و فهم این که چگونه به یک شبکه‌ی متشکل از مربع‌ها باید استحکام بخشید تا اندازه‌ای نیازمند کند و کاو و تأمل است. برای مثال، چند تیر مورب باید به یک شبکه‌ی مسطح مربع‌های چهار در چهار افزود تا انعطاف ناپذیر شود؟ برای مستحکم کردن چنین شبکه‌ای با فقط هفت تیر مورب، دو راه وجود دارد؛ اما در یکی از این دو راه، شبکه‌ی تقویت شده چندان مستحکم نیست.
گاهی اوقات کاوش در باره‌ی سخت‌پایی، مستلزم به خرج دادن انعطاف پذیری به مفهوم عینی و دقیق کلمه است. هیچ داستانی بهتر از داستان مشهور حدسیه‌ی سخت‌پایی موضوع را روشن نمی‌کند. در قرن هفدهم میلادی ریاضی‌دان فرانسوی اگوستن لویی کوشی با حسرت و شگفتی در این اندیشه شد که آیا سطوح همه‌ی چند وجهی‌های محدب مستحکم‌اند. این‌گونه سطوح، همه‌ی وجوه چند وجهی‌هایی را که بنا بر قضیه‌ی الکساندروف به صورت مثلث تقسیم بندی شده‌اند و بسیاری از چند وجهی‌های دیگر را در بر می‌گیرند. سطوح منقسم شده با وجوه آن‌ها توسط چند ضلعی‌های مستوی با تعداد ضلع‌های مختلف محدود می‌شوند. چون این شکل‌ها محدب‌اند، هیچ‌گونه فرورفتگی یا گودی در آن‌ها وجود ندارد. در سال 1813 میلادی کوشی ثابت کرد که یک چند وجهی محدب در صورتی مستحکم است که همه‌‌ی سطوح آن مثلث باشند. طبق این قضیه، هر سطح محدب متشکل از مثلث‌ها می‌تواند مستحکم باشد مشروط بر این‌که تیرهای مورب تشکیل دهنده‌ی هر مثلث با مثلث دیگر مشترک باشد.
با وجود محدود بودن قضیه‌ی کوشی – محدودیت محدب بودن سطح – ریاضی دانان رفته رفته این پرسش تردید آمیز را مطرح کردند که آیا همه‌ی سطوح متشکل از مثلث‌ها – حتی سطوحی که محدب نیستند – مستحکم هستند. به نظر می‌رسد که بتوان این‌گونه سطوح را به طریقی فشرد، پیچاند، یا از شکل انداخت. تنها لازمه‌ی انجام این کار آن است که آن‌ها از نظر توپولوژیک، ساده باشند. اگر این گونه سطوح، ناگهان واجد خاصیت کشسانی و انبساط پذیری گردند، باید (کم و بیش) کروی باشند. از این گذشته، یک سطح ساده مستلزم آن بود که هیچ قسمت آن با هیچ قسمت دیگرش مماس نباشد. ریاضی دانان گمان می‌کردند که اگر سطحی واجد همه‌ی این خصوصیت‌ها باشد در آن صورت صرف نظر از این که چگونه بر اثر فشار تغییر شکل یابد، بخشی از آن که شامل مثلث‌هاست، هیچ گونه انعطافی نمی‌پذیرد.
در طول بیش از صد سال، هیچ‌کس نه می‌توانست حدسیه‌ی سخت پایی را ثابت کند و نه می‌توانست حدسیه‌ای را که بر یک سطح غیر محدب انعطاف پذیر و تقسیم شده به مثلث‌ها مبتنی بود مردود بداند. قوی‌ترین شاهد تأیید آمیز این حدسیه وقتی ارائه شد که در سال 1974 میلادی هرمن ر. گلاک از دانشگاه پنسیلوانیا ثابت کرد که تقریباً همه‌ی این‌گونه سطوح، مستحکم هستند. به تعبیری دیگر، نمونه‌هایی از نظریات مخالف با این حدسیه اگر وجود داشت در واقع نادر بود. حتی هر ناموافقی درمی‌یافت که این امر دلیل و شاهدی محکم در تأیید بی‌اعتبار کردن حدسیه است. اما رابرت کانلی از دانشگاه کُرنِل، پس از تأمل‌های بسیار متقاعد شد که حدسیه‌ی دیرپایی نادرست بوده است. او که سطوح مختلف را که در نظرش می‌بایست انعطاف پذیر می‌بودند یکی پس از دیگری در خیال مجسم کرده بود سرانجام روزی به این واقعیت رسید که برخلاف قضیه‌ی گلاک کار می‌کرده است. دفتر کارش مملو از مدل‌هایی بود که ریاضی‌دانان آماتور با این اعتقاد که آن‌ها انعطاف پذیرند برای او فرستاده بودند. او می‌گفت قضیه‌ی گلاک در عمل پذیرفتنی نیست! کانلی که با جهان مشکلِ گلاک رو به رو بود تصمیم گرفت مکانیسم‌های مختلف، یعنی داربست‌هایی را که به باور او انعطاف پذیر بودند، بررسی کند. کانلی که کار را با یک چارچوبه‌ی بسیار ساده‌ی انعطاف پذیر شروع کرد، دانش توپولوژی خود را به کار گرفت تا با افزودن مثلث‌های ساده به چارچوبه، آن را مستحکم کند. اما روزی احساس کرد که به بن بست رسیده است، زیرا در مقابل او یک سطح غیر محدب بود که منعطف شد. اما این همان چیزی نیست که توپولوژیست‌ها آن را کره می‌خوانند. دو لبه در داخل سطح بر یک‌دیگر مماس شده‌اند مانند توپ بسکتبالِ خالی شده از باد که یک طرف آن به طرف نقطه‌ی مقابل فشرده شود. این کار آشکارا آزارنده بود. کاری بود سهل و ممتنع. پس از این بود که فکر پیچ و تاب دادن به ذهن او خطور کرد. ناگهان به این فکر افتاد که به طریقی، با ایجاد مثلث‌هایی در گرداگرد سطح – مثلث‌هایی به تعداد کافی که مانع تماس دو خط باشند – که قابلِ تا شدن باشند، لبه‌های مزاحم را به تقسیمات فرعی بخش کند. مدلی که او ساخت منعطف شد!
یک نمونه‌ی مخالف با حدسیه‌ی دیرپایی که در آثار مکتوب ریاضی منعکس شده است مربوط به سال 1978 میلادی است. کوتاه زمانی پس از بررسی‌های کانلی، ریاضی دان آلمانی موسوم به کلاوس استفن با الهام از اندیشه‌ی کانلی، یک سطحِ حتی ساده‌تر کشف کرد که منعطف می‌شد. وقتی سطح کانلی-استفن کامل شد، دو مثلث میانی از محل ضلع مشترکشان تا زده می‌شوند و به این ترتیب می‌توان با یک دست سطح را از محل تا زدگی گرفت و بالا نگاه داشت. سپس این امکان فراهم می‌شود که در حالی که دست دیگر را کاملاً به زیر مدل می‌بریم به آرامی و با دقت دور تا دور شکل را اندکی – به اندازه‌ی تقریباً ده درجه – تا بزنیم تا رأس زیرین تشکیل شود. با تشکیلِ این شکلِ ظریفِ انعطاف پذیر، مشخص می‌شود که اندازه و مقدار این سطح، پس از تغییر شکل ثابت می‌ماند. کانلی هم‌چنین در این اندیشه بود که آیا خاصیت مقدار ثابت در موردِ تمام سطوح انعطاف پذیر و غیر محدبِ تقسیم شده به مثلث‌ها مصداق دارد. اگر کانلی کمان می‌کند که چنین است، او خود باید انعطاف پذیر باشد! شاید برخی از مدعیانِ تازه گام نهاده در عرصه‌ی نظریه پردازیِ سخت پایی مثالی در رد اندیشه‌ی کانلی بیابند. من خود، به عنوان مثلاً یک مدعی نوپا، پدرم را به خاطر در هم شکسته شدنِ چارچوبه تا اندازه‌ای دچار نگرانی و زحمت کردم. اما در ظرف چند ساعت پس از این حادثه، داربست، دوباره ساخته و برپا شد. این بار، داربست عینِ داربست قبلی بود با این تفاوت که یک تیر صنوبر اضافی داشت. پدرم با اطمینان خاطر از داربست بالا رفت. من مطمئنم که لرزش‌های خفیفی که با بالا رفتن او در داربست به چشم دیدم از نوع همان انعطاف‌های بی‌نهایت کوچک‌ها بود.

PersianGFX

فروش پاییزی اموزش های گرافیکی تا 45 درصد تخفیف ویژه!

مبانی سواد بصری و ترکیب بندی، نقطه و خط

• دسته:
• تعداد بازدید: 77135

آشنایی ابتدایی با نقطه و خط، در هنر های تجسمی

نقطه مبدا پیدایش فرم می باشد. وجود یک نقطه، مبین مکانی در فضاست. معمول ترین شکلی که می توان برای نقطه قائل شد گرد بودن است. نقطه ی چهارگوش یا مثلثی شکل به ندرت در طبیعت پیدا می شود (نقطه در معنای عام)
کوچک و بزرگ بودن یک نقطه، بسته به اینکه در چه فضایی قرار گرفته ارزیابی می شود. نقطه ممکن است در سطح مطرح شود یا بصورت حجم و سه بعدی در فضا وجود داشته باشد. از نظر ریاضی، نقطه عنصری ست که هیچ گونه بعدی ندارد و فضایی را اشغال نمی کند و از محل تلاقی دو خط، نقطه تشکیل می شود.

نقطه همچنین کوچکترین نمود بصری یک عنصر تصویری ست (یک نقطه در الفبا، یک برگ در فضا، یک گوی در آسمان، یک لکه روی دیوار، یک گل سرخ در فاصله ی کافی، یک ردپا بر روی برف، یک چراغ روشن در شهر و. )
نقطه، هرکجا که باشد خواه به صورت طبیعی یا مصنوع دست انسان، چشم را شدیدا به خود جلب می کند. در نتیجه، نقطه به منزله ی یک عنصر تصویری قوی می تواند برای نشان دادن مفهوم "تأکید" مورد استفاده قرار گیرد.
با تکرار نقطه، در ترکیب های متنوع و متعدد، می توان مفهوم "ریتم" را شناخت. با تجمع و تفرق نقطه ها در یک ترکیب جدید، مفهوم "انبساط و انقباض" را می توان نمایش داد (سورا _ Seurat - نقاش امپرسیونیست فرانسوی، در نقاشی های خود با تکنیک پوینتلیست _Pointillist_ یا نقطه چینی، این پدیده، یعنی ادغام نقطه ها، دستگاه بینایی انسان را آزمود)

نقطه ی مدور، انرژی تصویری متراکمی را در درون خود زندانی کرده، برعکس نقطه ای به شکل مربع یا مثلث یا شکل های مشابه، انرژی تصویری را در جهت یا جهات اضلاع خود هدایت می کنند.

خط:
دومین عنصر بصری است که از نزدیک شدن تعداد نقاط پدید می آید به طوری که دیگر نقطه ها قابل تشخیص نباشند.

می توان گفت خط، نقطه ی در حال حرکت است، یعنی نقطه ایست که در اثر نیرویی که از یک جهت بر آن وارد آمده، حالت ایستایی خود را از دست داده و به صورت یک عنصر تصویری فعال در آمده، از نظر ریاضی، خط محل تلاقی دو صفحه یا از برخورد دو سطح برهم پدید می آید. خط فقط دارای واقعیت طولی می باشد و فاقد عمق و عرض است.

بر خلاف نقطه که عنصری متمرکز و ثابت است، خط دارای انرژی فعال و متحرک است. خطوط در یک تصویر ممکن است به صورت شکسته، منحنی، صاف، دندانه دار، مواج، پهن و ضخیم و. باشند که هرکدام القاء تصویری خاص و معنا و مفهوم خود را دارند (که اشاره خواهد شد)
قوه ی بینایی انسان نسبت به تاثیر روانی خط و ارزش های هنری آن در یک قاب، حساسیت به خرج می دهد.

خطوط افقی: معرف تعادل، آرامش و سکون است، بیشتر القای حالت غیر فعال، بی حرکت و خوابیده را دارند.

خطوط عمودی: نشانگر ایستایی، نیرومندی و استحکام دارای تعادل و توازن هستند.

خطوط مورب: بیشتر در یک قاب، القا ناپایداری را دارند، نامتعادل و متحرک هستند.

خطوط منحنی: این خطوط بیشتر نرمش و ملایمت را در یک کادر القا می کنند. و دارای حرکتی روان و لغزنده هستند.

خطوط شکسته و زاویه دار: این نوع خطوط در یک کادر معرف حالتی خشن، برنده و سخت هستند، عموما چشم را آزار می دهد و اعصاب را متشنج می کند.